The research activity is mainly focused on non-Equilibrium Statistical Mechanics. Some reserach lines follow:
1) Large-deviations.
For a thermodynamic system, quantities whose value is not constrained by the experimental conditions fluctuate. For instance, the temperature of a system in equilibrium with the environment (because of the zero-th principle of Thermodynamics) equals that of the environment, while its energy fluctuates around an average value. Small fluctuations around the expectation are generally well understood and, usually, obey the central limit theorem, namely they are gaussianly distributed. On the other hand, less is known about the so called large deviations, namely rare fluctuations displacing thermodynamic variables far away from the average. Recently we have studied analytically this problem by computing the exact probability distribution of thermodynamic variables such as the internal energy or the heat exchanged with the environment in classical solvable models of Statistical Mechanics, such as the Gaussian model or the Spherical model, both in Equilibrium or out of Equilibrium. The result is highly non-trivial, showing that the probability distribution can be non-analytic. This is due to the fact that the probability distribution plays a role - for the fluctuations - similar to that played by the partition function with respect to average quantities. Therefore, as in the presence of a phase-transition singularities show up in the partition function, in the same way the probability distribution may become singular. This phenomenon is referred to as condensation of fluctuations, because the phase-transition associated to it is mathematically analogous to the Bose-Einstein condensation of non-interacting boson gases.
ii) Response Theory.
After applying a small impulsive perturbation to an initially equilibrated system and switching it off the system will relax back to the original equilibrium state. According to Onsager, the relaxation properties can be inferred from the knowledge of the Equilibrium state of the unperturbed system. In his idea the displacement of the system from Equilibrium due to a small perturbation can be mapped to the spontaneous fluctuations already present in the unperturbed Equilibrium state. The analytical counterpart of this idea is the Fluctuation-Dissipation theorem, a fundamental result of linear Response Theory. However, such a general result is not available for systems that, before the perturbation, are not in Equilibrium. Furthermore, if the perturbation is not small the theorem does not hold even in the Equilibrium case. In the last years we have devoted many efforts to fill, at least partly, this gap by proving that, for a sufficiently wide class of systems, the Fluctuation-Dissipation theorem can be generalized to the non-Equilibrium case. In addition, we have derived the perturbative expansion (non-linear Response Theory) extending the previous results to cases when the perturbation is not sufficiently small.
iii) Non-Equilibrium Dynamics.
The dynamics of system evolving without time-translation invariance is not well understood. A typical example is that of a thermodynamic system quenched from an high-temperature to low-temperature state. In this case the dynamics can show interesting features such as scale-invariance, lack of equilibration in finite times, and others. The phenomenon is even richer in the presence of quenched disorder. We have studied these problems in many specific systems, such as clean and disordered magnets, fluids and mixtures, glasses etc. by means of analytic calculations or large scale numerical simulations on the supercomputer. |
| | | L`attivita` di studio del gruppo si concentra principalmente sulla Meccanica Statistica dei sistemi lontano dall`Equilibrio. Alcune linee di ricerca sono le seguenti:
i)Studio di grandi fluttuazioni.
In un sistema termodinamico, le grandezze il cui valore non e` fissato dalla condizione sperimentale fluttuano. Ad esempio, la temperatura di un oggetto in equilibrio con l`ambiente è (per il Principio Zero della Termodinamica) fissata ed identica a quella dell`ambiente, mentre la sua Energia fluttua attorno ad un valore medio (o aspettato). Piccole fluttuazioni rispetto alla media sono generalmente ben comprese e, di solito, obbediscono al teorema del limite centrale, cioè sono distribuite secondo la statistica di Gauss. Al contrario, meno si sa delle cosiddette grandi deviazioni, ovvero delle rare fluttuazioni delle variabili termodinamiche che si allontanano sensibilmente dal valore aspettato. Recentemente abbiamo studiato per via analitica questo problema sviluppando il calcolo esatto della funzione di distribuzione di variabili termodinamiche come l’energia o il calore scambiato con l`ambiente in modelli solubili classici della Meccanica Statistica, come il Modello Gaussiano o il Modello Sferico, sia all’Equilibrio sia fuori Equilibrio. Il risultato del calcolo è altamente non-banale, e dimostra che la distribuzione di probabilità può presentare non-analiticità . La ragione di cio` e` nel fatto che la distribuzione di probabilità gioca - per le fluttuazioni - un ruolo analogo a quello assunto dalla funzione di partizione per i valori attesi. Così come, in presenza di una transizione di fase, la funzione di partizione presenta punti di non-analiticità , così la probabilità può avere le stesse caratteristiche. Il fenomeno sopra descritto prende il nome di condensazione delle fluttuazioni, perchè la transizione di fase sottesa è matematicamente analoga alla condensazione di un gas perfetto di Bosoni predetta da Bose-Einstein negli anni 20 del Novecento.
ii)Teoria della Risposta.
Se applichiamo una piccola perturbazione impulsiva ad un sistema inizialmente in Equilibrio esso, esauritasi la perturbazione, ritornerà allo statodi Equilibrio originario rilassando. Secondo Onsager, le proprietà del processo di rilassamento possono essere desunte dalla conoscenza dello stato di Equilibrio del sistema imperturbato. L`idea della cosiddetta regressione di Onsager è infatti che lo spostamento del sistema dal suo stato di Equilibrio causato dalla perturbazione, se questa è piccola puo` essere assimilato ad una fluttuazione spontanea presente anche nel sistema nello stato imperturbato. La traduzione analitica di questa idea è il Teorema di Fluttuazione e Dissipazione, un risultato fondamentale della Teoria della Risposta Lineare. Non ė noto però un risultato analogo al Teorema di Fluttuazione e Dissipazione per sistemi che, prima della perturbazione, si trovino fuori Equilibrio. Se poi la perturbazione non è piccola, persino all’Equilibrio il teorema perde validità . Negli ultimi anni abbiamo cercato di riempire in parte queste lacune riuscendo a dimostrare, per una classe sufficientemente come il teorema di Fluttuazione e Dissipazione possa essere generalizzato a sistemi fuori Equilibrio. Abbiamo inoltre ricavato uno sviluppo perturbativo (Teoria della Risposta Non-Lineare) per estendere i risultati precedenti al caso in cui la perturbazione non sia sufficientemente piccola.
iii)Dinamiche di Non-Equilibrio.
Nel caso dei sistemi di non-Equilibrio in cui l’invarianza per traslazione temporale è violata è fondamentale conoscere le proprietà del processo dinamico. Un esempio tipico è quello dell`evoluzione di un sistema termodinamico preparato inizialmente ad alta temperatura e successivamente raffreddato. In questo caso la dinamica può presentare aspetti molto interessanti, quali irreversibilità , invarianza di scala, l’impossibilità di raggiungere l`equilibrio in tempo finito, ed altri. La presenza eventuale di disordine congelato, difetti reticolari nei solidi ad esempio, arricchisce il problema di ulteriori motivi di interesse. Abbiamo studiato questi problemi in diversi modelli specifici, a rappresentare sistemi come magneti puri o disordinati, fluidi e miscele, vetri etc... Lo studio è stato condotto per via analitica, o per mezzo di simulazioni numeriche su larga scala al supercalcolatore. |